Semester 3 : Cerita di Kelas MA2022 (Struktur Bilangan Bulat)

Struktur bilangan bulat adalah mata kuliah yang mirip dengan struktur aljabar tetapi objek yang dibahas hanya mengenai bilangan bulat. Nah, kebetulan saya sit in (tidak mengambil karena over sks) selama 1 semester supaya bisa memahami mata kuliah Struktur Aljabar di semester depan. Mata kuliah ini memiliki beban 2 SKS yang berarti hanya ada satu kali pertemuan tiap minggunya yaitu hari Senin - 11.00 s.d 13.00 - Gedung CAS lt. 5. Semester ini, mata kuliah SBB diajarkan oleh bu Hanny Garminia Y. yaitu salah satu dosen KK Aljabar, Matematika ITB.

Mata kuliah merupakan mata kuliah eksklusif tingkat 2 karena kurang dari 15 orang yang mengambil mata kuliah ini. Alhasil, ruang kuliahnya di gedung CAS, berbeda dengan mata kuliah matematika lainnya yang masih belajar di gedung kuliah umum. Buku referensi yang digunakan dalam mata kuliah ini adalah Aljabar, Achmad Arifin, Penerbit ITB Bandung.

Buku Referensi Mata Kuliah SBB

Terdapat 2 kali ujian yaitu UTS dan UAS, yaitu

UTS (26 Oktober 2015)
Bahasannya adalah himpunan, pemetaan, sistem matematika (grup, ring, daerah integral, ideal), kongruensi bilangan bulat, relasi ekivalen, dan kelas ekivalen. Berikut soal dan pembahasan UTS SBB

Soal UTS SBB

Solusi UTS bisa di download di sini (Terima kasih kak Dika, MA12 ITB atas solusinya)

UAS (30 November 2015)

Bahasannya adalah sistem matematika (daerah euclid, daerah ideal utama, lapangan, lapangan hasil bagi, daerah faktorisasi tunggal) dan pembentukan bilangan rasional melalui kelas ekivalen. Berikut soal dan pembahasan UAS SBB. UAS ini cukup mengagetkan karena yang dibahas di kelas jauh berbeda dengan yang dikeluarkan di ujian, mudah - mudahan teman - teman mendapatkan hasil yang memuaskan ya :))

Soal UAS SBB

Berikut adalah solusi SBB (versi saya)

Soal 1

Misalkan $u$ adalah unit di $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, maka terdapat $v \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ sedemikian sehingga $uv = 1$. Berdasarkan definisi, $u$ dan $v$ bisa ditulis dalam bentuk $u = a + b\sqrt{-5} $ dan  $v = c + d\sqrt{-5}$ untuk suatu $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$. Akibatnya,

$uv = 1 \implies  (a + b\sqrt{-5})(c + d\sqrt{-5}) = 1 \implies ac - 5bd = 1$ dan $ad + bc = 0$. Akibatnya, kita punya  

$(a - b\sqrt{-5})(c - d\sqrt{-5}) =  ac - 5bd - (ad + bc)\sqrt{-5} = 1 - 0\sqrt{-5} = 1 $

Oleh karena itu, $(a + b\sqrt{-5})(c + d\sqrt{-5})(a - b\sqrt{-5})(c - d\sqrt{-5}) = 1$ 

$\implies (a^2 + 5b^2)(c^2 + 5d^2) = 1 \implies a^2 = c^2 = 1$ dan $b = d = 0$. Sehingga, unit di $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ adalah $a + b\sqrt{-5}$ yaitu $1$ dan $-1$.

Soal 2

Pembuktian bahwa $\mathbb{Z}[i]$ adalah daerah integral diserahkan kepada pembaca. Akan dibuktikan bahwa $\mathbb{Z}[i]$ merupakan daerah euclid. Artinya,

• untuk setiap unsur $a$ dan $b$ di $\mathbb{Z}[i]$ yang tak nol berlaku $|a| \le |ab|$
• Untuk setiap unsur $a$ dan $b$ di $\mathbb{Z}[i]$ dengan $a \ne 0$ terdapat unsur $q$ dan $r$ di $\mathbb{Z}[i]$ yang memenuhi persamaan $b = qa + r$ dengan $r = 0$ atau $|r| < |a|$ 

Ambil $x, y \in \mathbb{Z}[i]$, akibatnya $x, y$ bisa di tulis dalam bentuk $x = a + bi$ dan  $y = c + di$ untuk suatu $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$. Jelas bahwa $|x|, |y| \ge 1$. Akibatnya 

$|xy| = |(a + bi)(c + di)| = |(ac - bd) + i(ad + bc)| = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$ 

$= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \le a^2 + b^2 = |x|$

Jadi point 1 benar. Akan dibuktikan bahwa point 2 juga memenuhi. Dengan menggunakan $x$ dan $y$ yang sama seperti pada point $1$, pilih $q \in \mathbb{Z}[i]$ sedimikian sehingga kuadrat dari jarak titik $q$ ke titik $\frac{b}{a}$ di bidang kompleks adalah seminimum mungkin, Jelas, bahwa  $\min \left| \frac{b}{a} - q\right| \le \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$. 

Akibatnya, $r = \min |b - qa| \le \frac{|a|}{2} < |a|$. Jadi benar bahwa ntuk setiap unsur $a$ dan $b$ di $\mathbb{Z}[i]$ dengan $a \ne 0$ terdapat unsur $q$ dan $r$ di $\mathbb{Z}[i]$ yang memenuhi persamaan $b = qa + r$ dengan $r = 0$ atau $|r| < |a|$. Jadi, dapat disimpulkan bahwa $ \mathbb{Z}[i]$ merupakan daerah euclid.

Soal 3
Unsur $p \in \mathbb{Z}[x]$ dikatakan prima jika :

$p \ne 0$ dan $p$ bukan unit

jika $a$ dan $b$ di $\mathbb{Z}[x]$ memenuhi $p|ab$, maka berlaku $p|a$ atau $p|b$

Bilangan prima di $Z[x]$ contohnya adalah $x + 1$ dan $x$. Jelas bahwa point satu dipenuhi. Untuk point 2, asumsikan terdapat $a(x)$ dan $b(x)$ elemen $\mathbb{Z}[x]$ sedemikian sehingga $x + 1|a(x)b(x)$. Akibatnya, jelas terdapat $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sehingga $(x+1)p(x) = a(x)b(x)$. Akibatnya, saat $x = -1$, diperoleh

$a(-1)b(-1) = 0 \implies a(-1) = 0$ atau $b(-1) = 0$. WLOG, asumsikan $a(-1) = 0$, artinya $x + 1|a(x)$. Jadi benar bahwa $x + 1$ merupakan unsur prima di $\mathbb{Z}[x]$. Lakukan hal yang sama untuk membuktikan bahwa $x$ merupakan unsur prima di $\mathbb{Z}[x]$


Soal 4
Akan dibuktikan bahwa pemetaan $\phi : \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \rightarrow Q(\mathbb{Z}[\sqrt{2}])$ merupakan sebuah homomorfisma satu - satu dengan aturan pengaitan $ \phi (a + b\sqrt{2} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1} \sqrt{2} $

• Mengawetkan operasi penjumlahan

$\phi((a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2})) = \phi((a + c) + (b+d)\sqrt{2})$
$= \frac{a+c}{1} + \frac{b + d}{1}\sqrt{2} = \left( \frac{a}{1} + \frac{b}{1} \sqrt{2} \right) + \left( \frac{c}{1} + \frac{d}{1} \sqrt{2} \right)$
$= \phi(a + b\sqrt{2}) + \phi((c + d\sqrt{2})$

• Mengawetkan operasi perkalian

$\phi((a + b\sqrt{2}) \times (c + d\sqrt{2})) = \phi((ac + 2bd) + (ad+bc)\sqrt{2})$
$= \frac{ac + 2bd}{1} + \frac{ad + bc}{1}\sqrt{2} = \left( \frac{a}{1} + \frac{b}{1} \sqrt{2} \right) \times \left( \frac{c}{1} + \frac{d}{1} \sqrt{2} \right)$
$= \phi(a + b\sqrt{2}) \times \phi((c + d\sqrt{2})$

• Satu - satu (Pembaca dipersilahkan membuktikan bagian ini)

Karena pemetaan ini homomorfisma satu - satu dapat disimpulkan bahwa $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ bisa disisipkan ke dalam $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$