Kebetulan, akhir - akhir ini saya sedang memperdalam ilmu kalkulus saya. Selama latihan, banyak sekali soal - soal yang membuat saya cukup terpukau. Berikut soal - soal kalkulus tersebut
Soal 1
Asumsikan $a > -1$ dan $b > -1$, tentukanlah nilai dari $\lim_{n \rightarrow \infty} n^{b-a} \frac{1^a + 2^a + ... + n^a}{1^b + 2^b + ... + n^b}$
Solusi
Perhatikan bahwa bentuk diatas bisa disusun ulang menjadi
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^a}{\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^b} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^a}{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^b} \]
Dengan menggunakan definisi integral menggunakan jumlah riemann dan mempertimbangkan $a > -1$ dan $b > -1$ diperoleh
\[ LHS = \frac{\int_0^1 x^a dx}{\int_0^1 x^b dx} = \frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{1}{b+1}} = \frac{b+1}{a+1} \]
Soal 2
Tentukanlah nilai dari \[ \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin (2 \pi en!) \]
Solusi
Pandang deret MacLaurin dari $e$, akibatnya
\[ n \sin (2 \pi en!) = n \sin \left( 2 \pi n! \left( \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} \right) \right)\] \[= n \sin \left( 2 \pi \left( B + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... \right) \right) \]
dengan $B$ menyatakan bagian bulat. Karena fungsi sin merupakan fungsi periodik dengan periode $2 \pi$, maka dengan mudah $2\pi B$ bisa dicoret pada bentuk di atas. Oleh karena itu,
\[ LHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \left( 2 \pi \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... \right) \right)}{\frac{1}{n}} = 2 \pi \]
Soal 3
Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln{n}^{\ln{\ln{n}}})} \]
Solusi
Sebelum masuk ke proses pembuktian, pembaca dipersilahkan untuk membuktikan bahwa $\ln x < \sqrt{x}$ untuk setiap $x \in [1, \infty)$. Perhatikan bahwa bentuk sigma dengan menggunakan ketaksamaan yang dibuktikan dapat disederhanakan menjadi :
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{\ln{\ln{n}}.\ln{\ln{n}}}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{(\ln{\ln{n}})^2}} > \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{\ln n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \]
Jelas bahwa summasi ini divergen.
Soal 4
Buktikan bahwa barisan $x_n$ konvergen, dengan \[ x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots + \sqrt{n}}}} \]
Solusi
Perhatikan bahwa $\sqrt{\alpha} \le \frac{1 + \alpha}{2}$ untuk semua bilangan positif $\alpha$. Akibatnya,
\[ x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots + \sqrt{n}}}} \le \sum_{i = 1}^n \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n + 2}{2^n} < 2 \]
Karena barisan $x_n$ merupakan barisan monoton naik dan terbatas atas, maka barisan $x_n$ konvergen. Q.E.D
Soal 5
Berapakah hasil penjumlahan dari \[ 1 + \frac12 + \frac13 - \frac14 - \frac15 - \frac16 + \frac17 + \frac18 + \frac19 - \frac{1}{10} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \ldots \]
Solusi
Asumsikan hasil penjumlahan diatas adalah $B$. Di sisi lain, asumsikan bahwa
\[ A = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac 16 + \frac17 - \frac18 + \frac19 - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \ldots\]
Perhatikan bahwa $A = \ln{2}$ (Nilai ini diperoleh dari deret maclauric $\ln{(1+x)}$ di titik $x = 1$). Perhatikan bahwa
\[ A + B = 2 \left( 1 + \frac13 - \frac14 - \frac16 + \frac17 + \frac19 - \frac{1}{10} - \ldots \right) \] \[ = 2 + \sum_{i = n}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}2}{(3n)(3n + 1)} = 2 + \frac23 \int_0^1 \ln{(1 + x^3)} \]
Silahkan dilanjutkan menggunakan integral parsial untuk menemukan nilai $B$.
Sebagai latihan bagi pembaca (silahkan jawab di bagian komentar), saya sertakan beberapa soal
Latihan 1
Misalkan fungsi $f$ terdifferensialkan pada $(0, 1)$ dan kontinu pada $[0, 1]$
(a) Buktikan bahwa \[ |f(b)| - |f(a)| \le \int_0^1 |f'(x)| \text{ dx} \quad \forall \quad a, b \in (0, 1) \]
(b) Dengan menggunakan bagian (a), buktikan bahwa \[ |f(b)| \le \int_0^1 |f'(x)| + |f(x)| \text{ dx} \quad \forall \quad a, b \in (0, 1) \]
Latihan 2
Misalkan $f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ merupakan fungsi terdifferensialkan dengan turunan yang monoton tak naik. Jika diketahui $f(0) = 0$ dan $f'(1) > 0$
(a) Buktikan bahwa $f(1) \ge f'(1)$
(b) Tunjukkan bahwa \[ \int_0^1 \frac{1}{1 + f^2(x)} \mathbb{ dx } \le \frac{f(1)}{f'(1)} \] Apakah kesamaan mungkin terjadi ?
Latihan 3
Diberikan $\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x) + f'(x)) = 0$ dan $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ ada. Buktikan bahwa \[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = 0 \]
Latihan 4
Carilah $\int \frac{\text{dx}}{x(x+1)(x+2) \ldots (x+m)}$ dengan $m$ adalah bilangan bulat positif
Latihan 5
Carilah nilai dari \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{nx^{n-1}}{1+ x} \text{ dx} \] Hint : Selesaikan menggunakan integral parsial dengan $u = \frac{1}{1+x}$ dan $dv = nx^{n-1}$
kalau jawabnya "love you" aja gmn?
ReplyDeleteijin nyimak kahfi he22, ditunggu janjimu ya utk share soal pelatnas dan solusinya yg dulu bpk minta, thanks.
ReplyDeletehaha, ok pak. Insya allah nanti kahfi coba share soal dan solusi soal pelatnas yang kahfi bisa melalui blog ini pak hehe. Kahfi masih kesusahan untuk nulis solusi yang banyak dalam sehari pak :D
Delete3. Pakai L'HOSPITAL.
ReplyDeleteAndaikan $\displaystyle \lim_{x \to \infity} \f(x) \neq 0$
Maka lim $e^x f(x)=\infty$ atau $e^xf(x) \infty$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^xf(x)}{e^x}=\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^xf(x)+e^xf'(x)}{e^x}$
Kontradiksi.
Ga ada tombol editnya... :(
DeleteAndaikan $\lim_{x \to \infty} f(x)\neq 0$
maka $\lim_{x \to \infty} e^xf(x)=\infty$ atau $\lim_{x \to \infty} e^xf(x)=-\infty$
Itu kontradiksinya limit terakhir hasilnya 0.
Iya bener bang. Ayo dicoba soal lainnya bang :D
DeleteLanjut no.2
ReplyDeletea. Karena turunan tak monoton naik dan pada daerah tutup, maka terdapat nilai minimum yaitu pada saat $x=1$. Karena $f(x)$ terturunkan, kita integralkan turunnya.
$\displaystyle \int_{0}^{1} f'(x) dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta{x} \geq n\times f'(1) \frac{1}{n}$
$LHS=f(1)-f(0)\geq f'(1)\Rightarrow f(1) \geq f'(1)$
b. Cukup buktikan bahwa $LHS \leq 1$, Dari (1) akan terbukti
Dengan menggunakan sifat kuadrat bilangan real selalu lebih besar dari 0, maka diperoleh
$f^2(x)\geq 0\Rightarrow LHS \leq \int{0}^{1} dx=1\leq \frac{f(1)}{f'(1)}$
Q.E.D
Kesamaan terjadi pada saat $f(x)=0$, ini tidak mungkin. Karena pada soal $f'(1)>0$. Jadi, kesamaan tidak mungkin terjadi.
Delete**Exercise 4**
ReplyDeleteNotice that
$$
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}
$$
and
$$
\frac{1}{x(x+1)(x+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2}\right)
$$
also
$$
\frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{x}-\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)
$$
by applying partial fraction decomposition. WLOG, we then obtain
$$
\frac{1}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+m)}=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}\frac{(-1)^k}{x+k}
$$
Hence
$$
\begin{align}
\int\frac{dx}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+m)}&=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}\int\frac{(-1)^k}{x+k}\,dx\\
&=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{m}{k}\ln(x+k)+C
\end{align}
$$
**Exercise 5**
Applying integration by parts twice yields
$$
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n\,x^{n-1}}{1+x}\,dx&=\left.\frac{x^n}{1+x}\right|_0^1+\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n}}{(1+x)^2}\,dx\\
&=\frac{1}{2}+\lim_{n\to\infty}\left.\frac{x^{n+1}}{(1+n)(1+x)^2}\right|_0^1+2\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n+1}}{(1+n)(1+x)^3}\,dx\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}
$$